O determinante de uma Matriz é dado pelo
valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos
termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da
diagonal secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos
podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em
seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o
número de linhas é igual ao número de colunas.
Observe o cálculo de determinantes nas seguintes matizes quadradas de ordem 2x2 e 3x3:
Observe o cálculo de determinantes nas seguintes matizes quadradas de ordem 2x2 e 3x3:
Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2.
Diagonal principal: 2 * 6 = 12
Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9
DetA = 12 – (–9)Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9
DetA = 12 + 9
DetA = 21
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
A toda matriz
quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as
várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
-
resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
-
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;
Determinante de
1ª ordem
Dada uma matriz
quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o
determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o
significado de módulo.
Por exemplo:
|
|
det
M = 5 ou I 5 I = 5Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz
,
de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de
2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante
de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos
da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o
exemplo a seguir.
Menor
complementar
Chamamos de menor
complementar relativo a um elemento aij de uma
matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij ,
de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha
e a coluna que passam por aij .
Vejamos como
determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz ,
de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11),
retiramos a linha 1 e a coluna 1:
,
de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11),
retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo
ao elemento a12 é:
b) Sendo 
,
de ordem 3, temos:
,
de ordem 3, temos:
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